GCD(최대 공약수), LCM(최소 공배수) 구하기

1. 최대 공약수 구하기 

1.1. 유클리드 알고리즘이란?

최대 공약수(GCD)를 구할 수 있는 알고리즘으로, gcd(a,b)와 (r=a%b라고 할 때), gcd(b,r)의 최대 공약수는 같다. 

즉, gcd(a,b) == gcd(b,r)이다.

 

이 성질에 따라 gcd(a,b) == gcd(b, a%b) == gcd(a%b, (a%b)%b).... 반복하여 나머지가 0이 되었을 때 나뉘어지는 수가 a와 b의 최대공약수가 된다. 

 

정리하자면 gcd(a,b) -> cdg(a, a%b) .... -> gcd(x, 0)이면 a와 b의 최대 공약수는 x이다. 

 

1.2. 구현

    private static int gcd(int a, int b) {
        if(b == 0) return a;
        return gcd(b, a%b);
    }

 

2. 최소 공배수를 구하는 방법 

2.1. 최대공약수와 최소공배수의 관계 

A,B의 최대공약수 = G, 최소공배수 = L이라고 하자. 

A = Ga, B = Gb (a와 b는 서로소이다.) 

L = Gab = AB/G

GL = ab

따라서 최소 공배수 L = a*b/G 이다. 

 

2.2. 구현

    private static int gcd(int a, int b) {
        if(b == 0) return a;
        return gcd(b, a%b);
    }

    private static int lcm(int a, int b) {
        return a * b / gcd(a,b);
    }